2.7. مبدأ التراكب (الصفحة 120)

0068

الشكل 2.63 دارة التمرين 2.32

 

نقوم الآن بتحليل الدارة عندما يكون منبع التيار فقط في حالة عمل. يبين الشكل 2.62(c) هذه الدارة، والتي فيها تكون المقاومة  موصولة على التفرع مع  ونحصل على المقاومة المكافئة كما يلي

 

 

أما الكمون الناتج عن منبع التيار فيحسب من العلاقة

 

 

وفي النهاية، نحصل على الاستجابة الكلية عن طريق جمع الاستجابات المنفردة:

 

 

 

 

التمرين 2.31      أوجد الاستجابات  و  و  للدارة في الشكل 2.62.

الجواب     ، ، .

 

التمرين 2.32      استخدم مبدأ التراكب للحصول على الاستجابتين  و  للدارة في الشكل 2.63.

الجواب     ، ، ، ، ، .

 

الإعلانات

2.7. مبدأ التراكب (الصفحة 119)

0067

 

لا يمكن تطبيق مبدأ التراكب على الدارات التي تحتوي على عنصر أو عناصر موصوفة بمعادلات غير خطية. سنشاهد العناصر الغير خطية في مرحلة لاحقة من دراستنا.

وأيضا، لا يمكن تطبيق مبدأ التراكب على استطاعة المقاومات، لأنها تعطى بعلاقة غير خطية  و .

 

استخدام مبدأ التراكب في حل الدارات

يمكننا استخدام مبدأ التراكب في تحليل الدارات، حيث نقوم بحل الدارة بالنسبة لكل منبع على حدة. يمكننا بعد ذلك جمع الاستجابات المستقلة لإيجاد الاستجابة الكلية. يمكننا أحيانا تبسيط عملية تحليل الدارة بهذه الطريقة. نوضح ذلك بمثال.

 

المثال 2.22    حل الدارة باستخدام مبدأ التراكب

استخدم مبدأ التراكب لحل الدارة المبينة في الشكل 2.62(a) والحصول على .

الحل       نبدأ بتحليل الدارة مع تفعيل منبع واحد في كل خطوة، ومن ثم نقوم بجمع الاستجابات. يبين الشكل 2.62(b) الدارة عندما يبقى منبع الجهد فقط في حالة عمل. يمكننا إيجاد استجابة الدارة من خلال تطبيق مقسم التيار:

 

 

الشكل 2.62 دارة المثال 2.22 والتمرين 2.31.

2.7. مبدأ التراكب (الصفحة 118)

0066

فإذا جعلنا قيمة  تساوي الصفر، فسنحصل على استجابة الدارة عندما يعمل  لوحده:

(2.83)

 

وبالمثل، يمكننا الحصول على استجابة الدارة بالنسبة لـ  فقط إذا جعلنا قيمة  تساوي الصفر في المعادلة 2.82، ونحصل على

(2.84)

 

بمقارنة المعادلات 2.82، 2.83، و 2.84، نجد أن

 

 

أي أنه، وكما يتوقع من مبدأ التراكب، ستكون الاستجابة الكلية مساوية لمجموع الاستجابات لكل منبع مستقل على حدة عندما يعمل لوحده.

لاحظ أنه إذا قمنا بتصفير المنبعين المستقلين (  و )، عندها ستصبح الاستجابة تساوي الصفر. إذا، فإن المنابع المتحكم بها لا تساهم في الاستجابة الكلية للدارة، لكنها تؤثر في عمل المنبعين المستقلين (عند تفعيلهما)، ونلاحظ ذلك بوجود K الخاصة بالمنبع المتحكم به في معادلتي  و . الخلاصة هي أن المنابع المتحكم بها لا تساهم في تغيير الاستجابة بشكل مستقل، ويجب عدم تصفير المنابع المتحكم بها عند تطبيق مبدأ التراكب.

 

الخطية

إذا رسمنا مميزة الفولت-أمبير لمقاومة ما، سنحصل على خط مستقيم، كما هو موضح على الشكل 2.61. ولذلك، نقول أن قانون أوم هو علاقة خطية. وبطريقة مماثلة، تعطى قيمة التيار الخاص بالمنبع المتحكم به في الشكل 2.60 بالعلاقة ، وهي أيضا علاقة خطية. في هذا الكتاب، نستخدم المصطلح منبع خطي متحكم به للدلالة على المنبع الذي تكون قيمته مساوية لقيمة ثابتة مضروبة بمتحول ما من الدارة سواء أكان تيار أو كمون.

فيما يلي بعض الأمثلة عن معادلات غير خطية

 

 

الشكل 2.61 المقاومة الخطية هي تلك التي تحقق قانون أوم.

 

2.7. مبدأ التراكب (الصفحة 117)

0065

لتكن لدينا دارة مكونة من مقاومات، ومنابع خطية متحكم بها، و n منبع مستقل. (سنقوم بشرح مصطلح منبع خطي متحكم به فيما بعد.) يدعى التيار المار عبر عنصر محدد (أو الكمون على طرفيه) بـ استجابة العنصر، وذلك لأن التيارات الجهود تظهر كاستجابة للمنابع المستقلة.

تذكر أننا استخدمنا تصفير المنابع المستقلة كطريقة لإيجاد مقاومة ثيفينين لدارة بنهايتين. ولكي نصفر المنبع، نجعل قيمته مساوية للصفر، أي أن منابع التيار تصبح دارة مفتوحة ومنابع الكمون تصبح دارة مغلقة.

أما الآن فدعنا نصفر جميع المنابع الـ n المستقلة ما عدا المنبع الأول، فنلاحظ وجود استجابة معينة (سواء أكانت تيار أو جهد)، ولنرمز لهذه الاستجابة بالرمز . (نستخدم الرمز r من response بدلا من i أو v لأن الاستجابة قد تكون تيارا أو جهدا.) وبالمثل، عندما نبقي على المنبع الثاني فقط في حالة عمل، ستكون الاستجابة هي ، وبنفس الطريقة نحصل على الاستجابة الكلية عن طريق تفعيل كل المنابع ونرمز لهذه الاستجابة بـ . ينص مبدأ التراكب على أن الاستجابة الكلية تساوي مجموع الاستجابات لكل منبع عندما يعمل لوحده. كمعادلة، يأخذ التعريف الشكل التالي

(2.79)
 

 

سنوضح الآن صحة مبدأ التراكب في دارة الشكل 2.60. يوجد منبعين مستقلين في هذه الدارة: الأول هو منبع الكمون ، والثاني هو منبع التيار . لنفرض أننا نبحث عن هبوط الجهد على طرفي .

أولا، نبحث عن الاستجابة الكلية  وذلك بحل الدارة مع وجود المنبعين. نكتب معادلة التيار للعقدة العلوية، لنحصل على

(2.80)

 

يعطى متحول التحكم  بالعلاقة

(2.81)

 

نعوض العلاقة 2.81 في 2.80 ونحلها بالنسبة للاستجابة الكلية، فيكون

(2.82)

 

الشكل 2.60 الدارة المستخدمة لشرح مبدأ التراكب.