3.1. المكثفات (الصفحة 153)

0011

 

 

الشكل 3.7 تيار ذو موجة مربعة للتمرين 3.2.

 

كما يبين الشكل 3.6(d) الرسم البياني لـ .

 

 

التمرين 3.2        يبين الشكل 3.7 التيار المار عبر مكثفة سعتها 0.1 ميكروفاراد. في اللحظة  يكون الجهد على طرفي المكثفة مساويا الصفر. احسب قيمة الشحنة, والجهد, والاستطاعة, والطاقة المخزنة كتوابع للزمن وارسم هذه التوابع على أساس تغير القيمة مع الزمن.

الجواب   يبين الشكل 3.8 الرسمات البيانية المطلوبة.

 

 

الإعلانات

3.1. المكثفات (الصفحة 152)

0010

 

 

 

الرسم البياني لـ  موضح في الشكل 3.6(b).

الآن, نبحث عن معادلات تعبر عن الاستطاعة وذلك بضرب الجهد بالتيار:

 

 

يوضح الشكل 3.6 (c) الرسم البياني لـ . لاحظ كيف تكون الاستطاعة موجبة بين اللحظتين 0 و 1 ثانية, مما يدل على أن المكثفة تتلقى الطاقة. بين اللحظتين 3 و 5 ثانية, تخرج الطاقة من المكثفة لتعود إلى الدارة.

سنقوم الآن باستخدام العلاقة 3.14 لإيجاد علاقات تعبر عن الطاقة المخزنة:

 

 

3.1. المكثفات (الصفحة 151)

0009

 

 

(3.13)

 

بإجراء التكامل والتعويض, تظهر العلاقة

(3.14)

 

حيث تمثل هذه العلاقة الطاقة المخزنة في المكثفة, والتي يمكن فيما بعد إعادتها إلى الدارة.

إذا قمنا بحل المعادلة 3.1 بالنسبة للكمون  وتعويضه في المعادلة 3.14, عندئذ يمكننا استحصال علاقتين بديلتين لحساب الطاقة المخزنة:

(3.15)

 

(3.16)

 

 

المثال 3.3      التيار والاستطاعة والطاقة في المكثفة

لنفرض أننا طبقنا الإشارة في الشكل 3.6(a) على مكثفة سعتها 10 ميكروفاراد. احسب وارسم التيار, والاستطاعة المقدمة, والطاقة المخزنة بين اللحظتين 0 و 5 ثانية.

 

الحل       أولا, علينا كتابة المعادلات التي تعبر عن الجهد كتابع للزمن:

 

 

باستخدام العلاقة 3.3, يمكننا الحصول على معادلة تعبر عن التيار:

 

 

 

3.1. المكثفات (الصفحة 150)

0008

 

 

 

(3.10)

 

ليكن لدينا مكثفة كمونها البدائي . إذا ستكون شحنتها البدائية أيضا مساوية للصفر, ونقول أن المكثفة غير مشحونة. لنفرض أيضا أن كمون المكثفة, بين اللحظة  ولحظة ما بعدها , يتغير من الصفر إلى القيمة  فولت. تحصل المكثفة على الطاقة كلما ازدادت قيمة الكمون, حيث يتم تخزين هذه الطاقة في الحقل الكهربائي بين اللبوسين.

إذا قمنا بمكاملة الاستطاعة التي تحصل عليها المكثفة بين اللحظتين  و , نحصل على الطاقة المقدمة للمكثفة:

(3.11)

 

بتعويض العلاقة 3.10 مكان الاستطاعة, نحصل على

(3.12)

 

باختصار تفاضل الزمن وتبديل النهايات بالكمونات المناسبة, نحصل على

3.1. المكثفات (الصفحة 149)

0007

 

 

نعوض في العلاقة 3.6 فنحصل على

(3.8)

 

وعادة ما نختار الزمن البدائي بحيث تكون .

 

المثال 3.2      حساب جهد المكثفة بمعرفة التيار

علما أن , يعطى التيار المار بمكثفة سعتها 0.1 ميكروفاراد بالعلاقة

 

 

(واحدة الحد داخل الـ sin هي الراديان) الشحنة البدائية للمكثفة هي . قم برسم , , و  بحيث تكون قيمتها تابعة للزمن.

الحل       أولا نستخدم المعادلة 3.5 لإيجاد صيغة تعبر عن الشحنة:

 

 

 

وبحل المعادلة 3.1 بالنسبة للكمون, نحصل على

 

 

يوضح الشكل 3.5 الرسم البياني لكل من , , و. في اللحظة التي تلي  مباشرة يكون التيار موجبا وتزداد قيمة . بعد أول نصف للدورة, يصبح التيار  سالبا وتأخذ  بالتناقص. بعد نهاية دورة واحدة, نجد أن التيار والشحنة قد عادا للقيمة الصفرية.

 

 

الطاقة المختزنة

الاستطاعة المقدمة إلى أي عنصر في الدارة تساوي جداء التيار بالكمون (وذلك إن حقق العنصر قاعدة المرجع المجهول):

(3.9)

 

نستخدم العلاقة 3.3 لنعوض فيها قيمة التيار, فنحصل على

3.1. المكثفات (الصفحة 148)

0006

 

 

و التيار

 

 

يبين الشكل 3.4(d) رسما للتابع .

لاحظ أنه كلما ازداد فرق الكمون, سيمر تيار عبر المكثفة وتزداد الشحنة المتجمعة على اللبوسات. عندما يكون الكمون ثابت, سيكون التيار مساويا للصفر وتكون الشحنة ثابتة. أما عندما يتناقص الكمون, فستنعكس جهة التيار, وستتفرغ الشحنة المتراكمة من المكثفة.

 

 

التمرين 3.1        تعطى الشحنة الموجودة في مكثفة سعتها 2 ميكروفاراد بالعلاقة

 

 

أوجد العلاقات التي نحسب منها كلّا من الجهد والتيار. (الزاوية تقاس بالراديان.)

الجواب   ,  .

 

 

الجهد بدلالة التيار

لنفرض أننا نعلم قيمة التيار  المار عبر المكثفة C ونريد حساب الشحنة والكمون. بما أن التيار هو معدل الشحنة المارة خلال زمن محدد, فيمكننا مكاملة التيار للحصول على الشحنة. في معظم مسائل تحليل الدارات, نبدأ التحليل عند لحظة بدائية , تكون عندها قيمة الشحنة معلومة وهي . عندها يمكن حساب الشحنة كتابع للزمن كما يلي

(3.5)

 

إذا قمنا بمساواة الطرف الأيمن من المعادلة 3.1 و3.5 مع بعضهما وقمنا بحل المعادلة الناتجة بالنسبة للكمون  فنحصل على

(3.6)

 

ومنه نستطيع حساب الشحنة البدائية للمكثفة من العلاقة

(3.7)

3.1. المكثفات (الصفحة 147)

0005

 

كما هو موضح في الشكل 3.4 (c).

يمكن حساب التيار المار عبر المكثفة من القانون 3.3:

 

 

وكما نعلم, فإن اشتقاق منحني الكمون بالنسبة للزمن يعطي المماس له. إذا, عندما تكون t بين 0 و 2 ميكروثانية, سنحصل على

 

 

و أيضا

 

 

يكون الجهد ثابتا بين اللحظتين  و  ميكروثانية () والتيار يساوي الصفر. أما بين اللحظتين 4 و5 ميكروثانية, نحصل على